1등 확률 814만분의 1은 어떻게 나온 숫자인가

로또 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다. 이 숫자는 1부터 45까지 중 6개를 고르는 모든 경우의 수입니다. 순서는 상관없으므로 조합으로 계산합니다.

45개 중 6개를 순서대로 뽑으면 45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40 가지입니다. 그런데 로또는 뽑은 순서가 의미 없으므로, 같은 6개를 나열하는 720가지(6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)를 하나로 봐야 합니다.

(45 × 44 × 43 × 42 × 41 × 40) ÷ 720 = 8,145,060

이 중 당첨 조합은 딱 하나이므로 1등 확률은 8,145,060분의 1입니다.

같은 방식으로 나머지 등수도 구할 수 있습니다.

• 1등 (6개) — 경우의 수 1 → 약 814만분의 1
• 2등 (5개 + 보너스) — 당첨번호 6개 중 5개를 고르는 6가지 → 약 136만분의 1
• 3등 (5개) — 6 × 38(보너스를 뺀 나머지) = 228가지 → 약 3만 6천분의 1
• 4등 (4개) — 15 × 741 = 11,115가지 → 약 733분의 1
• 5등 (3개) — 20 × 9,139 = 182,780가지 → 약 45분의 1

다섯 등수를 모두 더하면 한 게임이 뭐라도 당첨될 확률은 약 2.4% 입니다. 다르게 말하면 한 게임을 샀을 때 아무것도 맞지 않을 확률이 약 97.6%입니다.

숫자가 너무 커서 감이 잘 오지 않습니다. 몇 가지로 바꿔 보겠습니다.

• 매주 5게임씩 사면 1등까지 평균 3만 년이 넘게 걸립니다.
• 한 회차에 1등이 되려면 814만 게임을 사야 확실합니다. 게임당 1,000원이니 81억원이 넘습니다.
• 5등(3개 일치)은 약 45분의 1이므로, 매주 5게임이면 평균 9주에 한 번쯤 나옵니다.

오릅니다. 다만 기대만큼은 아닙니다. 서로 다른 조합을 5게임 사면 1등 확률은 정확히 5배가 되어 약 163만분의 1이 됩니다. 10게임이면 약 81만분의 1입니다.

숫자로는 크게 좋아진 것 같지만, 여전히 일상에서 만나기 어려운 확률입니다. 그리고 게임 수를 늘리면 기대 손실도 같은 비율로 커집니다. 한 게임의 기대 회수액이 구매액보다 낮으므로, 게임을 늘릴수록 평균적으로 잃는 금액도 커집니다.

한 가지 주의할 점이 있습니다. 같은 조합을 여러 장 사면 확률은 올라가지 않습니다. 그 조합이 당첨될 확률은 그대로이고, 당첨됐을 때 받는 몫만 늘어납니다. 확률을 높이려면 서로 다른 조합이어야 합니다.

여기서 가장 중요한 결론이 나옵니다. 8,145,060개의 조합은 전부 똑같은 확률을 가집니다. 1·2·3·4·5·6도, 지난주에 나온 조합도, 통계 프로그램이 골라 준 조합도 마찬가지입니다.

"1, 2, 3, 4, 5, 6은 절대 안 나온다"는 말이 자주 들리지만 사실이 아닙니다. 그 조합이 나올 확률은 다른 어떤 조합과도 정확히 같습니다. 다만 그런 조합을 고른 사람이 많다면, 실제로 당첨됐을 때 나눠 가질 사람이 많아 1인당 당첨금은 줄어듭니다. 확률이 아니라 배분의 문제입니다.

왜 어떤 분석으로도 이 확률을 바꿀 수 없는지는 번호 분석이 당첨 확률을 바꾸지 못하는 이유에서 더 자세히 다룹니다.

1,000원짜리 한 게임의 기대 회수액은 구매액보다 낮습니다. 판매액 전액이 당첨금으로 돌아가지 않고 일부는 복권기금 등으로 쓰이기 때문입니다. 이것은 특정 복권의 문제가 아니라 모든 복권의 구조입니다.

그러니 로또는 수익을 기대하는 수단이 아니라 오락으로 보는 것이 맞습니다. 이 사실을 알고 사는 것과 모르고 사는 것은 다릅니다.